Question

【题目】如图，菱形与等边所在平面互相垂直，，，分别是线段，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）如图，取线段的中点，连接，根据题意证明四边形为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理进行判定即可；

（Ⅱ）如图，在等边中，取线段中点，连接，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，所在直线为轴建立如图坐标系．然后分别找到平面和平面的一个法向量，根据法向量求二面角的余弦值即可．

（Ⅰ）如图，取线段的中点，连接，是线段的中点，

则且．

在菱形中为线段中点，则且，

则且，故四边形为平行四边形，

所以．

又因为平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）如图，在等边中，取线段中点，连接，则，

因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，所在直线为轴建立如图坐标系．

设，则，，，

所以，，

设平面的法向量为，则，

令，得平面的一个法向量为，

由题知平面的一个法向量为，

，

所以二面的余弦值为．