Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E，F，G分别为AC，AA₁，AB的中点，（1）求证：B₁C₁∥平面EFG（2）求三棱锥B₁-EFG的体积．

Answer 1

分析：（1）要证B₁C₁∥平面EFG，只要在平面EFG内找出一直线与B₁C₁平行，由E，F为△AB，AC中点，可得GE∥BC．而B₁C₁∥BC，可得B₁C₁∥GE，从而可证
（2））由（1）知可得C₁与B₁到平面EFG的距离相等，则VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF，容易证明B₁C₁⊥平面C₁CA₁，而B₁C∥GE，可得GE⊥平面C₁EF，即GE为G到平面EFC₁的距离，代入锥体的体积公式可求

解答：解：（1）E，F为△AB，AC中点，∴GE∥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥GE，
∵GE?平面GEF，B₁C₁∉平面GEF，
∴B₁C₁∥平面EFG  
（2）∵B₁C₁∥平面EFG，∴C₁与B₁到平面EFG的距离相等．  
∴VB1-EFG=VC1-EFG=VG-C1EF
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C₁，A₁C₁∩C₁C=C₁
∴B₁C₁⊥平面C₁CA₁
∵B₁C∥GE∴GE⊥平面C₁EF
∵GE=

1

2

BC=1，SC1EF=2×2-

1

2

(1×2+1×1+1×2)=

3

2

∴VB1-EFG=

1

3

×

3

2

=

1

2

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用及锥体的体积的计算，而本题（2）中所采用的换顶点求解三棱锥的体积及求解距离是非常重要的方法，要注意掌握．