Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，    

b

=(cos

x

2

，sin

x

2

)，

c

=(

3

，-1)，其中x∈R，
（1）当

a

•

b

=

1

2

时，求x值的集合；
（2）设函数f(x)=(

a

-

c

)2，求f（x）的最小正周期及其单调增区间．

Answer 1

分析：（1）通过

a

•

b

=

1

2

时，利用两角和的余弦函数，化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，然后求x值的集合；
（2）通过f(x)=(

a

-

c

)2，利用两角和与差的三角函数的化简函数的表达式，直接求f（x）的最小正周期及其单调增区间．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)•(cos

x

2

，sin

x

2

)
=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x=

1

2

．
∴2x=2kπ±

π

3

，
x=kπ±

π

6

，k∈Z．
（2）∵

a

-

c

 =（cos

3x

2

-

3

，sin

3x

2

+1）
∴f（x）=（cos

3x

2

-

3

）²+（sin

3x

2

+1）²=5-2

3

cos

3x

2

+2sin

3x

2

5+4（

1

2

cos

3x

2

+

3

2

sin

3x

2

）=5+4sin（

3x

2

-

π

3

），
所以函数的最小正周期为：T=

2π

3 2

=

4π

3

．
因为2kπ-

π

2

≤

3x

2

-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即

4kπ

3

-

π

9

≤x≤ 

4π

3

+

5π

9

时，函数5+4sin（

3x

2

-

π

3

）单调递增，
则函数f（x）的单调增区间为[

4kπ

3

-

π

9

，

4π

3

+

5π

9

]，k∈Z}．

点评：此题考查了三角函数的周期，单调增区间的求法，涉及的知识有，向量的数量积的应用，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的单调性，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解此类题的关键．