Question

12．设等差数列{a_n}满足a₂=9，且a₁，a₅是方程x²-16x+60=0的两根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前多少项的和最大，并求此最大值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过韦达定理可知a₁+a₅=16，利用等差数列{a_n}满足a₂=9可知（9-d）+（9+3d）=16，进而计算可得结论；
（2）通过（1）、利用等差数列的求和公式配方可知S_n=-$\frac{1}{2}$$（n-\frac{21}{2}）^{2}$+$\frac{441}{8}$，进而可得结论；
（3）通过（2）分n≤11、n≥12两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵a₁，a₅是方程x²-16x+60=0的两根，
∴a₁+a₅=16，
又∵等差数列{a_n}满足a₂=9，
∴（9-d）+（9+3d）=16，即d=-1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=11-n；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$\frac{-{n}^{2}+21n}{2}$=-$\frac{1}{2}$$（n-\frac{21}{2}）^{2}$+$\frac{441}{8}$，
故当n=10或11时，数列{a_n}的前n项的和S_n最大，
且最大值为$-\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{441}{8}$=55；
（3）由（2）知数列{a_n}的前10或11项的和最大，
∴当n≤11时，T_n=S_n=$\frac{-{n}^{2}+21n}{2}$；
当n≥12时，T_n=2S₁₁-S_n=110-$\frac{-{n}^{2}+21n}{2}$；
综上所述，数列{|a_n|}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{n}^{2}+21n}{2}，}&{n≤11}\\{110-\frac{-{n}^{2}+21n}{2}，}&{n≥12}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．