Question

【题目】椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由椭圆的离心率，结合性质 ， ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得点坐标，直线的方程与联立，可得点坐标，由三点共线可得点坐标，利用斜率公式变形后即可得结果.

(1)解　因为e＝＝，

所以a＝c，b＝c.

代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明　因为B(2,0)，点P不为椭圆顶点，

则可设直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)，①

①代入＋y2＝1，解得P.

直线AD的方程为y＝x＋1.②

①与②联立解得M.

由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知

＝，解得N.

所以MN的斜率为m＝

＝＝.

则2m－k＝－k＝ (定值)．