Question

如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，
公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km²）．
（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求面积S（km²）关于x（km）的函数解析式；
（Ⅲ）求面积S（km²）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设抛物线y²=2px，根据点F（4，2）在抛物线上，可求AF所在抛物线的标准方程；
（Ⅱ）公园形状为直角梯形QPRE，所以利用面积公式可求，应注意x的取值范围；
（Ⅲ）先求导函数，令导数为0，得x=

4

3

，利用函数在（0，2）上是单峰函数，可求函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）设抛物线y²=2px
∵点F（4，2）在抛物线上，∴2²=2p×4，∴2p=1，∴y²=x
（Ⅱ）设P（x²，x）  则QE=AE-AQ=4-x²
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4-x²+xS=

x

2

(4-x2+4-x2+x)=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2）
（Ⅲ）S'（x）=-3x²+x+4令S'（x）=0则x=-1（舍去）或x=

4

3

当0＜x＜

4

3

时，S'＞0，∴S（x）递增；当

4

3

＜x＜2时，S'＜0，∴S（x）递减；
∴当x=

4

3

km时，Smax=

104

27

km²

点评：本题注意考查函数模型的建立，考查利用导数解决函数的最值问题，属于中档题．