Question

如图，在矩形地块ABCD中有两条道路AF，EC，其中AF是以A为顶点的抛物线段，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．在两条道路之间计划修建一个花圃，花圃形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边，如图所示）．求该花圃的最大面积．

Answer 1

分析：设抛物线y²=2px，根据点F（4，2）在抛物线上，可求AF所在抛物线的标准方程；公园形状为直角梯形QPRE，所以利用面积公式可求，应注意x的取值范围；先求导函数，令导数为0，得 x=

4

3

，利用函数在（0，2）上是单峰函数，可求函数的最值．

解答：解：设抛物线y²=2px
∵点F（4，2）在抛物线上，∴2²=2p×4，∴2p=1，∴y²=x
设P（x²，x）  则QE=AE-AQ=4-x²
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4-x²+x S=

x

2

(4-x2+4-x2+x)=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2）
S'（x）=-3x²+x+4令S'（x）=0则x=-1（舍去）或 x=

4

3

当 0＜x＜

4

3

时，S'＞0，∴S（x）递增；
当

4

3

＜x＜2时，S'＜0，∴S（x）递减；
∴当 x=

4

3

km时，Smax=

104

27

km²

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的建立，考查利用导数解决函数的最值问题，属于中档题．