Question

10．已知函数f（x）=-cos²x-sinx+2．
（1）若x∈R，求f（x）的最大值与最小值；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，π]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）令sinx=t，当x∈R时，t∈[-1，1]，换元可得y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函数区间的最值可得；
（2）令sinx=t，当x∈[-$\frac{π}{6}$，π]时，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，同（1）可得．

解答 解：（1）令sinx=t，当x∈R时，t∈[-1，1]，
换元可得y=-cos²x-sinx+2=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函数可知当t=-1时，函数取最大值3，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{3}{4}$；
（2）令sinx=t，当x∈[-$\frac{π}{6}$，π]时，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
换元可得y=-cos²x-sinx+2=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函数可知当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{7}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间的最值是解决问题的关键，属基础题．