Question

（2012•汕头一模）已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分x≤1，x＞1两种情况讨论去掉绝对值符号，然后解方程f（x）=x即可得到x的集合；
（Ⅱ）按a=0，a≠0两种情况讨论：a=0时易判断函数奇偶性，当a≠0时，令x=±1可判断函数f（x）的奇偶性情况；
（Ⅲ）设此最小值为m，a＞2时求得f′（x）=3x（

2

3

a-x），按

2

3

a在区间[1，2]的右侧、内部两种情况讨论单调性，由单调性可得f（x）的最小值，当2＜a＜3时根据f（1）与f（2）的大小进行讨论；

解答：解：（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x²|x-1|，
当x≤1时，由f（x）=x²（1-x）=x，解得x=0；
当x＞1时，由f（x）=x²（x-1）=x，解得x=

1+ 5

2

．
综上，所求解集为{0，

1+ 5

2

}．
（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：
（1）当a=0时，f（x）=x²|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．
（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函数f（x）是非奇非偶函数．
（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax²-x³，f′(x)=2ax-3x2=3x(

2

3

a-x)．
（1）若a≥3，在区间（1，2）内f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，则1＜

2

3

a＜2．
当1＜x＜

2

3

a时，f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，

2

3

a]上的增函数；
当

2

3

a＜x＜2时，f'（x）＜0，从而f（x）为区间[

2

3

a，2]上的减函数．
因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当2＜a≤

7

3

时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；
当

7

3

＜a＜3时，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．
综上所述，所求函数的最小值m=

a-1，a＞ 7 3 4a-8，2＜a≤ 7 3

．

点评：本题考查函数的零点、函数的奇偶性、利用导数研究函数的最值，考查函数方程思想、分类讨论思想，考查学生运用知识解决问题的能力．