题目内容
设a，b，c∈R+，ab+bc+ca≥3，证明a5+b5+c5+a3（b2+c2）+b3（c2+a2）+c3（a2+b2）≥9．
分析：依题意，原命题等价于（a3+b3+c3）（a2+b2+c2）≥9，利用（a3+b3+c3）2≥9(
)3，结合已知即可证得结论．
| a2+b2+c2 |
| 3 |
解答：证明：原命题等价于（a3+b3+c3）（a2+b2+c2）≥9，…（3分）
又（a3+b3+c3）2≥9(
)3，…（6分）
故只需要证明a2+b2+c2≥3成立．…（9分）
∵a，b，c∈R+，ab+bc+ca≥3，
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）≥6．
∴a2+b2+c2≥3成立．
故原结论成立．（12分）
又（a3+b3+c3）2≥9(
| a2+b2+c2 |
| 3 |
故只需要证明a2+b2+c2≥3成立．…（9分）
∵a，b，c∈R+，ab+bc+ca≥3，
∴a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2ac，
b2+c2≥2bc，
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）≥6．
∴a2+b2+c2≥3成立．
故原结论成立．（12分）
点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法与综合法的灵活应用，关系式（a3+b3+c3）2≥9(
)3的应用是难点，属于难题．
| a2+b2+c2 |
| 3 |
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