Question

【题目】已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0.设是数列的前项和.若，，是数列的前3项，且.

（1）求数列和的通项公式；

（2）是否存在常数，使得为等差数列？并说明理由.

Answer 1

【答案】(1); ; (2) 或

【解析】

（1）由，，是等比数列的前3项利用等差中项的性质列出、d的关系式，代入即可求出、d，从而求得数列和的通项公式；（2）令先求出的表达式，若数列为等差数列推出为常数，则，列出方程求t，代入原式验证即可.

（1）设数列的公差为d，通项公式为，

因为，，是等比数列的前3项，所以，

即，整理得，

又，所以，

，，

所以，

因为，所以.

（2）数列的前n项和，

则，令，

若数列为等差数列，则为常数，

当时，，

整理得，解得或，(舍去)

经验证当或时均为常数，

综上所述，或时为等差数列.