Question

（2010•上饶二模）数列{a_n}的前n项和为S_n，已知n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）．
（1）求S_n关于n的表达式；
（2）设bn=(

1

2

)n•

n2

Sn

，Tn=b1+b2+…+bn．试比较Tn与

5n

2n+1

的大小，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）将S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）移向构造得出

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1．判断出{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式即为所求．
（2）由（1）可得出bn=

n+1

2n

．利用错位相消法求出T_n，再去比较．

解答：解：（1）当n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）．即（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1）．
于是

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1．
∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．从而Sn=

n2

n+1

．…（6分）
（2）bn=

n+1

2n

．则(1-

1

2

)Tn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

，
Tn=3-

n+3

2n

．…（9分）
∴Tn-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

．
显然：当n=1，2时，有Tn＜

5n

2n+1

．
当n≥3时，由2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2n+2＞2n+1
∴当n≥3时，有Tn＞

5n

2n+1

．…..（12分）

点评：本题考查等差数列的判定，数列通项公式求解，数列求和的错位相消法．考查构造、变形、计算、推理论证能力．