Question

（2010•上饶二模）已知椭圆

x2

4

+y2=1的下顶点为A，点B是椭圆上的任意的一点，点C、D是直线x-y-4=0上的两点（C在D的下方），则

AB • CD

| CD |

的最大值是（　　）

• A．

  5

  +1
• B．

  5

  -1
• C．

  10 - 2

  2

• D．

  10 + 2

  2

Answer 1

分析：由于

AB • CD

| CD |

=|

AB

| cosθ表示向量

AB

在直线CD上的投影的长度，如图，设与直线x-y-4=0上垂直的直线方程为：y=-x+b，代入椭圆的方程得到关于x 的二次主程，由△=0得：b=±

5

，结合图形得

AB • CD

| CD |

的最大值是点A到此切线的距离，利用点到直线的距离公式求解即得．

解答：解：由于

AB • CD

| CD |

=|

AB

| cosθ表示向量

AB

在直线CD上的投影的长度，如图，
设与直线x-y-4=0上垂直的直线方程为：
y=-x+b，
 代入椭圆的方程

x2

4

+y2=1得：

5

4

x²-2bx+b²-1=0，
由△=0得：b=±

5

，
结合图形得，图中椭圆的切线方程为：y=-x+

5

，

则

AB • CD

| CD |

的最大值是点A到此切线的距离，即

|-1- 5 |

1+1

=

10 + 2

2

．
故选D．

点评：本小题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．