题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，四边形
是直角梯形，
，
，
底面，
，
，
，
是
的中点.
（1）求证：
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）推导出
平面
，进而可得出
；
（2）利用二面角的定义得出
，可计算出
，然后以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线与平面
所成角的正弦值.
（1）在梯形
中，
，
，则
，
，
且
，则
，在
中，
，
，
由余弦定理得
，
，则
，
平面，
平面，
，
，
平面，
平面，
；
（2）由（1）知，，
，所以，二面角
的平面角为
，
平面，
平面，
，
为
的中点，
，
，
则，即
，解得
，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点
、
、
、
，
则
，
，
，
设平面的法向量为
，
由
，令
，则
，
，可得
，
设直线与平面所成角为
，则
.
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