Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点均在椭圆上，点在抛物线上，若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或．

【解析】

（1）运用离心率公式和垂直于轴的弦长公式，以及的关系解方程可得，进而得到所求椭圆的方程；

（2）设，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心坐标公式，可得的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得的坐标．

（1）根据题意得，又因为，解得，则，

所以椭圆的方程为：；

（2）设，联立椭圆方程，可得，

①

设，，

可得，

，

由在抛物线上，可得，

则 ②，

由

，

则

，

可得③，将②代入③整理可得，

解得或，相应的或1．

所以，或．