Question

【题目】已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,

（1）求f(x)的最小值；

（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立．

Answer 1

【答案】(1) (2)（ (3)见证明

【解析】

（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.

（1）

当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；

（2）因为所以问题等价于在上恒成立，

记则，

因为，

令

函数f(x）在（0,1）上单调递减;

函数f(x）在（1，+）上单调递增；

即，

即实数a的取值范围为（.

（3）问题等价于证明

由（1）知道

，令

函数在（0,1）上单调递增；

函数在（1，+）上单调递减；

所以{，

因此，因为两个等号不能同时取得，所以

即对一切，都有成立.