Question

非负实数x，y，z满足x²+y²+z²+x+2y+3z=

13

4

，那么x+y+z的最大值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：通过配方化简已知条件，利用换元以及利用柯西不等式，即可得到x+y+z的最大值．

解答：解：x²+y²+z²+x+2y+3z=

13

4

，
可得：（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²=

27

4

，
设x+

1

2

=w，y+1=v，z+

3

2

=u，得（x+

1

2

）²+（y+1）²+（z+

3

2

）²=w²+v²+u²=

27

4

，
∴x+y+z=w+y+z-3
∵（w+v+u）²≤（1²+1²+1²）（w²+v²+u²）=

81

4

∴-

9

2

≤w+v+u≤

9

2

，
当且仅当，w=v=u=

3

2

时，w+v+u的最大值为

9

2

，此时x+

1

2

=y+1=z+

3

2

，
由此可得：x+y+z的最大值为

9

2

-3=

3

2

．
故选：C．

点评：本题给出关于x、y、z的二次等式，求x+y+z的最大值．着重考查了柯西不等式的应用，考查了换元的数学思想，属于中档题．