题目内容

在数列{an}中，a1=1,a2=2,若{an+an+1}是公差为d（d＞1）的等差数列.

(1)求使（an+a n+1）(an+2+an+3)+(an+2-an)＞(an+1+an+2)2-1(n∈N*)成立的d的取值范围；

(2)若bn=a2n-1+a2n(n∈N*),求bn的表达式.

解：(1)∵a1+a2=3,

∴an+an+1=(a1+a2)+(n-1)d=3+(n-1)d.

∴an+1+an+2=3+nd,an+2+an+3=3+(n+1)d.

又an+2-an=(an+1+an+2)-(an+1+an)=d,

(an+an+1)(an+2+an+3)+(an+2-an)＞(an+1+an+2)2-1,

∴［3+(n-1)d］［3+(n+1)d］+d＞(3+nd)2-1.

∴d2-d-1＜1.

解得0＜d＜.

(2)b1=a1+a2=3.

又bn=a2n-1+a2n，bn+1=a2n+1+a2n+2,

∴bn+1-bn=（a2n+1+a2n+2）-(a2n-1+a2n)

=(a2n+1-a2n-1)+(a2n+2-a2n).

∵a2n+1-a2n-1=(a2n+a2n+1)-(a2n-1+a2n)=d,a2n+2-a2n=d,

∴bn+1-bn=2d.

∴{bn}是以首项b1=3,公差为2d的等差数列.

∴bn=3+2（n-1）d=2dn+3-2d(n∈N*).


练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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