Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=

1

2

且Sn-1Sn-2Sn+1=0．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a₂，a₃，a₄；
（2）利用（1）猜想数列{S_n}的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可，

解答：解：（1）当n=1时，S₁=a₁=

1

2

，
当n=2时，S₁S₂-2S₂+1=0，即a₁（a₁+a₂）-（a₁+a₂）+1=0，解得a₂=

1

6

．
当n=3时，S₃S₂-2S₃+1=0，即（a₁+a₂+a₃）（a₁+a₂）-（a₁+a₂+a₁）+1=0，解得a₃=

1

12

．
同理a₄=

1

20

．
（2）由（1）可得S1=

1

2

，S2=

2

3

，S3=

3

4

，S4=

4

5

，
猜想Sn=

n

n+1

，n=1，2，3，…
下面用数学归纳法证明
①n=1时，已经成立；
②假设n=k时结论成立即Sk=

k

k+1

，
当n=k+1时，S_kS_k+1-2S_k+1+1=0，得Sk+1=

1

2-Sk

=

k+1

k+2

．所以n=k+1时结论成立．
综上由①②可知，猜想Sn=

n

n+1

，n=1，2，3，…成立．

点评：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力．