Question

本题满分13分如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1
的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（I）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

Answer 1

解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）

∵G、F分别是EC和BD的中点
∴HG//BC，HF//DE，……………… 2分

又∵ADEB为正方形   ∴DE//AB，从而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC, HF∩HG=H,
∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC………………4分
（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面AB………………5分
又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC      ………………6分
∴BE⊥AC         
又∵CA²+CB²=AB²
∴AC⊥BC,     
∵BC∩BE="B,"
∴AC⊥平面BCE                                 ………………8分
（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，            ………………9分
又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。………………10分
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，      ………………11分
∵C—ABED是四棱锥,
∴V_C—ABED=                      ………………13分

解析