Question

A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.

（1）求证：AB⊥CD；

（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

Answer 1

（1）证明：如图，

∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3，

∴△ABC≌△ABD，BC=BD.

取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM.

∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.

（2）解：由CD⊥平面ABM，则平面ABM⊥平面BCD，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.

在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，

∴BC=.

在△ACD中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.

在Rt△BCM中，BC=，CM=1，∴BM=

∴cosABM=.