题目内容
【题目】设函数
，
，其中
，
为正实数.
（1）若
的图象总在函数
的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设
，证明：对任意，都有
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
(1)据题意可得
在区间
上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的
的取值范围；(2)不等式整理为
，由(1)可知当
时，
，利用导数判断函数
的单调性从而证明
在区间上成立，从而证明对任意
，都有
.
（1）解：因为函数
的图象恒在
的图象的下方，
所以
在区间上恒成立.
设
，其中，
所以
，其中
，
.
①当
，即
时，
，
所以函数
在上单调递增，
，
故
成立，满足题意.
②当
，即
时，设
，
则
图象的对称轴
，
，
，
所以在上存在唯一实根，设为
，则
，
，
，
所以在
上单调递减，此时
，不合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
（2）证明：由题意得
，
因为当时，
，
，
所以
.
令
，则
，
所以
在上单调递增，
，即
，
所以
，从而
.
由（1）知当时，
在上恒成立，整理得.
令
，则要证，只需证
.
因为
，所以
在上单调递增，
所以
，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立.
练习册系列答案
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（1）完成
列联表（应适当写出计算过程）；
（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有
的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.
统计数据如下表所示：
不善于总结反思 | 善于总结反思 | 合计 | |
学习成绩优秀 | 40 | ||
学习成绩一般 | 20 | ||
合计 | 200 |
参考公式：
其中
