题目内容
本小题满分12分)
已知
函数f (x)=
x3+ ax2－bx (a, b∈R) .
(1)若y=f (x)图象上的点(1，－
)处的切线斜率为－4
，求y=f (x)的极大值；
(2)若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值.
已知
函数f (x)=
x3+ ax2－bx (a, b∈R) .(1)若y=f (x)图象上的点(1，－
)处的切线斜率为－4
，求y=f (x)的极大值；(2)若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值.
解：(1)∵f ′(x)=x2+2ax－b ,
∴ 由题意可
知：f ′(1)=－4且f (1)=－,
∴
解得：
…………………………2分
∴ f (x)=x3－x2－3x。
f ′(x)=x2－2x－3=（x+1）（x－3）.
令f ′(x)=
0，得x1=－1，x2=3，……………3分
由此可知：
∴ 当x=－1时, f (x)取极大值
. …………………………6分
(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，
∴f ′(x)=x2+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.
根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：
也即
…………………9分
作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线z=a+b经过交点P(－
, 2)时，
z=a+b取得最小值z=－+2=
,
∴z=a+b取得最小值为……………………12分
∴ 由题意可
知：f ′(1)=－4且f (1)=－,∴
解得：
…………………………2分
∴ f (x)=
x3－x2－3x。f ′(x)=x2－2x－3=（x+1）（x－3）.
令f ′(x)=
0，得x1=－1，x2=3，……………3分由此可知：
| x | (－∞,－1) | －1 | (－1, 3) | 3 | (3, +∞) |
| f ’(x) | + | 0 | － | 0 | + |
| f (x) | ↗ | f (x)极大5/3 | ↘ | f (x) 极小 | ↗ |
. …………………………6分(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，
∴f ′(x)=x2+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.
根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：
也即
…………………9分
作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线z=a
+b经过交点P(－
, 2)时，z=a+b取得最小值z=－
+2=
,∴z=a+b取得最小值为
……………………12分略
练习册系列答案
相关题目
. 
在区间
上的最大值和最小值。
.
存在单调增区间，求
的取值范围；
，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出
，且
，其中
是自然对数的底数.
与
的关系；
在其定义域内为单调函数，求
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以
的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）
要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
上的点到直线
的最短距离是 ．
处的切线与x轴、直线
所围成的三角形的面积为
= .
B (log2x)′=