题目内容
已知椭圆
的离心率为
，a=
．（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
①若点M（-
，0），求证：
为定值；②求三角形OAB面积的最大值（O为坐标原点）．
【答案】分析：（1）通过椭圆的离心率以及a，求出b，即可求解椭圆C的方程；
（2）①点M（-
，0），设出A、B两点坐标，将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
为定值．
②利用弦长公式求出|y1-y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值．
解答：解：（1）因为已知椭圆
的离心率为
，a=
．
所以c=ae=
，所以b=
=
，
所以椭圆方程为：
．
（2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=
（x+1），代入
中，
得（1+
）x2+
x+
-5=0，
△=
-4（
+1）（
-5）=
+20＞0，x1+x2=-
，x1x2=
，
所以
=（x1+
，y1）（x2+
，y2）=（x1+
）（x2+
）+y1y2
=（x1+
）（x2+
）+
（x1+1）（x2+1）
=（1+
）x1x2+（
+
）（x1+x2）+
+
=（1+
）
+（
+
）（-
）+
+
=
；
②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=
，
S△AOB=
|ON||y1-y2|=
×1×
=
，
令12+5m2=t，则t≥12，m2=
∴S△AOB=
=
，
∵t≥12，
是增函数，
∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为
．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
（2）①点M（-
，0），设出A、B两点坐标，将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得为定值．②利用弦长公式求出|y1-y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值．
解答：解：（1）因为已知椭圆
的离心率为，a=．所以c=ae=
，所以b==，所以椭圆方程为：
．（2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=
（x+1），代入中，得（1+
）x2+x+-5=0，△=
-4（+1）（-5）=+20＞0，x1+x2=-，x1x2=，所以
=（x1+，y1）（x2+，y2）=（x1+）（x2+）+y1y2=（x1+
）（x2+）+（x1+1）（x2+1）=（1+
）x1x2+（+）（x1+x2）++=（1+
）+（+）（-）++=；②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=
，S△AOB=
|ON||y1-y2|=×1×=，令12+5m2=t，则t≥12，m2=
∴S△AOB=
=，∵t≥12，
是增函数，∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为
．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F1为顶点、F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若e|PF2|=|PF1|，则e的值为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、以上均不对 |
已知椭圆的离心率为
，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：
如图，A，B是椭圆C：