Question

【题目】已知f（x）=ex+acosx（e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）在x=0处的切线过点P（1，6），求实数a的值；
（2）当x∈[0， ]时，f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=ex﹣asinx，∴f'（0）=1．f（0）=1+a，

∴f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1+a，

∵切线过点P（1，6），∴6=2+a，∴a=4

（2）解：由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），（*）

令g（x）=x﹣cosx， ，

∴g'（x）=1+sinx＞0，且g（0）=﹣1＜0， ，

∴存在 ，使得g（m）=0，

当x∈（0，m）时，g（m）＜0；当 时，g（m）＞0．

①当x=m时，em＞0，g（m）=m﹣cosm=0，

此时，对于任意a∈R（*）式恒成立；

②当 时，g（x）=x﹣cosx＞0，

由ex≥a（x﹣cosx），得 ，

令 ，下面研究h（x）的最小值．

∵ 与t（x）=x﹣cosx﹣sinx﹣1同号，

且t'（x）=1+sinx﹣cosx＞0对 成立，

∴函数t（x）在 上为增函数，而 ，

∴ 时，t（x）＜0，∴h'（x）＜0，

∴函数h（x）在 上为减函数，∴ ，∴ ．

③当x∈[0，m）时，g（x）=x﹣cosx＜0，

由ex≥a（x﹣cosx），得 ，

由②可知函数 在[0，m）上为减函数，

当x∈[0，m）时，h（x）max=h（0）=﹣1，∴a≥﹣1，

综上，

【解析】（1）求导数，可得f（x）在x=0处的切线方程，利用f（x）在x=0处的切线过点P（1，6），求实数a的值；（2）由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），令g（x）=x﹣cosx， ，分类讨论由ex≥a（x﹣cosx），得 ，令 ，研究h（x）的最值，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．