Question

.（本题满分12分）

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.

（1）证明：面PBD⊥面PAC；

（2）求锐二面角A—PC—B的余弦值.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

1）因为四边形ABCD是菱形，

       所以AC

       因为PA平面ABCD，

       所有PABD.…………………………2分

       又因为PAAC=A，

所以BD面 PAC.……………………3分

而BD面PBD，

所以面PBD面PAC.…………………5分

（2）如图，设ACBD=O.取PC的中点Q，连接OQ.

     在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ//PA.

     因为PA平面ABCD，

     所以OQ平面ABCD，……………………………………………………6分

     以OA、OB、OQ所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系O

     则

     ………………………………………………………………………7分

     因为BO面PAC，

     所以平面PAC的一个法向量为…………………………………8分

     设平面PBC的一个法向量为

     而

     由得

     令则

     所以为平面PBC的一个法向量.……………………………10分

     ＜＞……………………12分

 

【解析】略