Question

【题目】已知函数.

（1）求的定义域和值域；

（2）求的单调区间；

（3）设的反函数为，解关于x的方程：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当时，原方程的根为；当时，原方程的根为.

【解析】

（1）先根据真数大于零列不等式，再分和进行讨论解得定义域；最后在定义域下求真数范围，即得的值域；

（2）先确定原函数为指数函数与对数函数的复合，再在定义域下分和进行讨论的单调区间；

（3）先求反函数得，再根据对数性质、指数性质解方程得或,最后验根.

（1）当时，由，即的定义域为；

又且，∴，即的值域为.

同理，当时，的定义域为，值域为.

（2）设，时，是上的减函数，是增函数，故是上的减函数；当时，是上的增函数，是减函数，故是上的减函数.

（3）∵，∴等价于.该方程可化为.

解方程，得或.

经检验：当时，原方程的根为；当时，原方程的根为.