Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，判断函数的零点个数；

（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的零点个数为1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意，代入，对函数求导，判断函数单调性，根据特殊值，即可判断零点个数；

（Ⅱ）根据题意，解决函数恒成立问题，方法一：转化对任意恒成立，则有对任意恒成立，构造函数，只需求，利用导数研究函数最值问题。方法二：对任意恒成立.构造函数，转化成射线与函数的图象相切时属临界状态，计算求解；方法三：含参的函数最小值探究，只需，即可求解参数取值范围.

（Ⅰ）当时，，其定义域为，

求导得，

于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，又，所以函数的零点个数为1；

（Ⅱ）法1：因对任意，恒成立，即对任意恒成立，于是对任意恒成立，

令，只需.

对函数求导，得，令，

则，所以函数在上单调递增.

又，所以当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增，所以函数，于是，即实数的取值范围为.

法2：因对任意，恒成立，即对任意恒成立.构造函数，对其求导，得，

令，得（舍去），所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

函数的图象是一条过原点的射线（不包括端点），旋转射线（不含端点），发现与函数的图象相切时属临界状态.

设切点为，则，整理得，

显然在上是增函数，又，所以，此时切线斜率为1，结合图象，可知实数的取值范围为.

法3：根据题意只需即可.

又，令，因2与异号，所以必有一正根，不妨设为，则，即，

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，

又在上是减函数，又，所以，

由得在上单调递增，则实数的取值范围为.