Question

【题目】记数列的前n项和为，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前n项和为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）当时根据公式，代入进行计算并加以转化可得，方法一：利用累乘法，可得，即可求出结果；方法二：由，可得，所以数列 是一个常数列，进而可计算出数列的通项公式；

（2）根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后将通项公式进行转化可发现数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式写出的表达式，同时可得与的表达式，然后运用作差法代入计算可证明不等式成立．

解：(1)(法一)

∵，即，

∴，

∴.

∴，即，

∴

又也满足上式，

∴.

(法二)∵，即，

∴

∴

∴，即，

∴，

∴是以为首项的常数列，

∴.

(2)由(1)知，

.

∴，即.