Question

【题目】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且当直线斜率为2时，．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点作抛物线的两条弦与，问在轴上是否存在一定点，使得直线过点时，为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，定点

【解析】

（1）设，，由已知可得，将抛物线方程与直线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，即可求解；

（2）假设在轴上存在点满足条件，设，，，利用的坐标关系可得，，将问题转化为关系，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可求解.

解：（1）设，，

∵当直线斜率为2时，，∴， ①

设直线方程为，

联立直线方程与抛物线方程，得，

∴，代入①式得，

∴抛物线方程为．

（2）假设在轴上存在点，使得直线过点时，为定值．

设，，，

则，

、在抛物线上，则有，，

∴

， ②

设直线方程，

联立直线方程与抛物线方程，

得，∴，，

代入②式得．

∵为定值，∴，

即，且，

∴存在定点，使得直线过点时，为定值．