Question

2．已知f （x）=x³+3ax²+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（2，+∞）
• B． （-2，1）
• C． （1，2）
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先求导，利用函数既有极大值又有极小值，转化为f′（x）=0有两个不同的根，然后确定a的取值范围．

解答 解：函数的导数为f′（x）=3x²+6ax+3（a+2）．
因为函数f（x）既有极大值又有极小值，则f′（x）=0有两个不同的根．
即判别式△＞0，即36a²-4×3×3（a+2）＞0，
所以a²-a-2＞0，解得a＞2或a＜-1．
故选：A．

点评 本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，将条件转化为f′（x）=0有两个不同的根，是解决本题的关键．