Question

 （12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，ＳＡ＝ＡＤ，M为AB中点，N为SC中点.

   （1）证明：MN//平面SAD；

   （2）证明：平面SMC⊥平面SCD；

  

Answer 1

（12分）

   （I）证明：取SD中点E，连接AE，NE，

∵　Ｎ、Ｅ分别是ＳＣ、ＳＤ的中点

∴　ＮＥ／／ＣＤ且ＮＥ＝ＣＤ

∵　ＡＢ／／ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ　ＡＭ＝ＡＢ

∴　ＮＥ／／ＡＭ且ＮＥ＝ＡＭ

∴　四边形ＡＭＮＥ为平行四边形

∴　ＭＮ／／ＡＥ

∵　

∴ MN//平面SAD；

（2）∵SA_{⊥平面ABCD}   

∴ SA⊥CD

底面ABCD为矩形，

∴ AD⊥CD

又∵SA∩AD＝A    ∴CD⊥平面SAD，   ∴CD⊥SD         ∴CD⊥AE

∵SA=AD  E为SD的中点     ∴ AE⊥SD    ∵ SD∩CD＝D

∴ AE⊥平面SCD     ∵AE//MN   ∴MN⊥平面SCD    ∵MN平面MSC

∴平面SMC⊥平面SCD