Question

函数f（x）=（a-1）x²+2ax+1在区间（1，2）上是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：当a=1时，f（x）=2x+1在区间（1，2）上是增函数．当a＞1时，对称轴x=

a

1-a

≤1，解得a＞1．当a＜1时，对称轴x=

a

1-a

≥2，解得

2

3

≤a＜1．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：当a=1时，f（x）=2x+1在区间（1，2）上是增函数．
当a＞1时，由题意知，对称轴x=

a

1-a

≤1，
解得a＞1．
当a＜1时，由题意知，对称轴x=

a

1-a

≥2，
解得

2

3

≤a＜1．
综上所述，实数a的取值范围是[

2

3

，+∞)．
故答案为：[

2

3

，+∞)．

点评：本题是一类考查对二次函数系数讨论的非常典型的试题，一定要熟悉其方法：1．当a=0时，函数是一次函数，明显在规定区间是增函数，符合题意．2．当a不等于0时，函数是二次函数，这时候一定要注意数形结合分析题目（对于函数、立体几何和解析几何数形结合是非常必要的，切记）当a＞0时，函数开口向上，通过画图可以发现只有当对称轴在1/2左侧的时候，才满足题意，故可求得a的取值范围．同理可得，当a＜0时，只有当对称轴在1右侧的时候，才满足题意，故可求得a的取值范围．综合以上2种情况可得a的取值范围．