Question

设函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为

3

2

，求f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=

2π

w

可求最小正周期，再由正弦函数的单调性确定单调区间．
（2）先根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，再由正弦函数的单调性求出最大值和最小值，进而可得a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再得到f（x）的图象与x轴正半轴的第一个交点，最后根据微积分的知识求出面积．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

∴T=π
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ
故函数f（x）的单调递减区间是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，原函数的最大值与最小值的和（1+a+

1

2

）+（-

1

2

+a+

1

2

）=

3

2

∴a=0，∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

f（x）的图象与x轴正半轴的第一个交点为（

π

2

，0）
所以f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
S=

∫

π 2 0

[sin(2x+

π

6

)+

1

2

]dx=[-

1

2

cos(2x+

π

6

)+

x

2

]

|

π 2 0

=

2 3 +π

4

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角函数的基础知识．三角函数是高考的必考题，要强化训练．