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精英家教网如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的长度都为4，点D是B1C1的中点，则异面直线AB1与A1D所成的角是
 
（结果用反三角函数值表示）．
分析：利用两个向量数量积的定义求得
AB1
•
A1D
，由又 
AB1
•
A1D
=（
AB
+
BB1
）•（
AB
+
1
2
BC
）求得
AB1
•
A1D
，进而可得cos＜
AB1
，
A1D
＞=
1
4
，最后求出异面直线AB1与BC1所成的角即可．
解答：解：
AB1
•
A1D
=4
2
×2
3
cos＜
AB1
，
A1D
＞=8
6
cos＜
AB1
，
A1D
＞．
又 
AB1
•
A1D
=（
AB
+
BB1
）•（
AB
+
1
2
BC
）=12
故有 8
6
cos＜
AB1
，
A1D
＞=12，
∴cos＜
AB1
，
A1D
＞=
6
4
，
∴＜
AB1
，
A1D
＞=arccos
6
4
，
故异面直线AB1与A1D所成的角是 arccos
6
4
，
故答案为：arccos
6
4
．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，求出cos＜
AB1
，
A1D
＞的值，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是
3
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A1BD的距离．

（08年唐山一中调研二） 如图所示，正三棱柱的底面边长为a，点M在BC上，是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。

   （Ⅰ）求证：点M为边BC的中点；

   （Ⅱ）求点C到平面的距离；

   （Ⅲ）求二面角的大小。

 
如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于G。

（1）求证：A1B⊥AD；
（2）求证：CE∥平面AB1D。
如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A1BD的距离．
如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A1BD的距离．

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