Question

在等比数列{a_n}中，且a₈＞a₉，则使得的自然数n的最大值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

Answer 1

【答案】分析：由数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的性质得到a₇•a₉=a₈²，与已知的等式联立，并利用等比数列的通项公式化简，可得出a₁与q的关系，然后利用等比数列的通项公式化简a₈＞a₉，可得出q的取值范围，把所求的式子变为-，并利用等比数列的前n项和公式化简，将表示出的a₁代入，分解因式后，根据其值大于0，得到-＞0，由q的范围，得到关于i的不等式，求出不等式的最大正整数解可得出n的最大值．
解答：解：∵数列{a_n}为等比数列，
∴a₇•a₉=a₈²，又a₉=a₇²，
两式相除得：a₇³=a₈²，即（a₁q⁶）³=（a₁q⁷）²，
∴a₁=，
∵a₈＞a₉，即a₁q⁷＞a₁q⁸，
∴q³-q⁴＞0，即q³（1-q）＞0，
解得：0＜q＜1，
又=-
=-
=
=＞0，
∴-＞0，
∴q⁴＜q^i-5，又0＜q＜1，
∴i-5＜4，即i＜9，
则n的最大值为8．
故选C
点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，以及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．