Question

若2sinα-cosβ=2，则sinα+2cosβ的取值范围是（　　）

• A．[-3，3]
• B．[-

  3

  2

  ，

  7

  2

  ]
• C．[-2，2]
• D．[-

  3

  2

  ，1]

Answer 1

分析：由题意可得cosβ=2sinα-2，由cosβ∈[-1，1]可得sinα的范围，然后代入要求的式子可消去sinβ，由前面的范围可得要求的范围．

解答：解：由题意可得：cosβ=2sinα-2，由cosβ∈[-1，1]可得
-1≤2sinα-2≤1，解得

1

2

≤sinα≤

3

2

，又-1≤sinα≤1，
所以

1

2

≤sinα≤1，而sinα+2cosβ=sinα+2（2sinα-2）=5sinα-4，
故

5

2

≤5sinα≤5，即-

3

2

≤5sinα-4≤1，即5sinα-4∈[-

3

2

，1]
故选D

点评：本题考查三角函数取值范围，利用正余弦本身的值域是解决问题的关键，属基础题．