Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x+b
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+4=0，求a、b的值
（2）若f（x）在（0，1）内单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+4=0，得到切线的斜率k=3，切点坐标为（1，7），利用导数即可求a、b的值
（2）若f（x）在（0，1）内单调递减，则f′（x）≤0在（0，1）内恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为3x-y+4=0，
则切线的斜率k=3，切点坐标为（1，7），
∵f（x）=x³-ax²-x+b，
∴f′（x）=3x²-2ax-1，
则

f(1)=1-a-1+b=7 f′(1)=3-2a-1=3

，
解得a=-

1

2

，b=

13

2

．
（2）若f（x）在（0，1）内单调递减，
则f′（x）=3x²-2ax-1≤0在（0，1）内恒成立，
即3x²-1≤2ax，
即2a≥3x-

1

x

，
∵y=3x-

1

x

在（0，1）是增函数，
∴y=3x-

1

x

＜3-1=2，
则2a≥2，即a≥1，
则实数a的取值范围a≥1．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数单调性和导数之间的关系，考查学生的计算能力．