Question

（本小题满分12分）如图所示，在长方体中，，（），、分别是和的中点，且平面.

（1）求的值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）分析题意，以为原点，，，的方向分别作为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，计算向量的数量积，求得，，，则由条件可知是平面的法向量，利用，即可求得的值；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，利用法向量即可求得二面角的余弦值.

试题解析：以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，则，，，，，，， 2分

（1）由已知可得，，， 3分

∵,，∴，， 4分

即，∴； 5分

（2）设平面的法向量为，则，

∵，，∴，∴，，

∴， 7分

由（1）可得为平面的法向量，且， 9分

∴， 11分

又∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为. 12分

考点：1.线面垂直的性质；2.空间向量的运用.