Question

定义数列：，且对任意正整数，有.
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对
；若不存在，则加以证明.

Answer 1

（1），；
（2）见解析.

考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．
解：（1）对任意正整数k，
，
.        1分
所以数列是首项,公差为2等差数列；数列是首项
,公比为3的等比数列.     2分
对任意正整数k, ,.        3分
所以数列的通项公式  4分
对任意正整数k,
.  5分
    6分
所以数列的前n项和为
.   7分
(2)  ,
从而,由知m=1,2,3      8分
①当时,    9分
②当时,     10分       
③当时,
       13分       
综上可知,符合条件的正整数对(m,n)只有两对：(2,2,)与(3,1)   14分