题目内容

设函数f（x）=sinxcosx+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的最大值和最小值．

解：f（x）=sinxcosx+cos²x= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ （1+cos2x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
（1）∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，1]
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ∈[0， $\text{[math]}$ ]
∴函数f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为0
分析：（1）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期计算公式求其最小正周期即可
（2）先求内层函数2x+ $\text{[math]}$ 的值域，在将其看做整体，利用正弦函数的图象和性质求函数的最值即可
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角变换公式在解决三角化简和求值问题中的作用，复合函数最值的求法，整体代入的思想方法