Question

定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.

（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；

（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；

（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1），相似；（2）；（3），或，.

【解析】

试题分析：（1）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（2）掌握好离心率的及时定义即可解决问题；（3）解析几何中的定点、定值问题是有一定难度的，这种带有探究性问题，通常都假设存在，然后去求，若有解则存在，若无解，则不存在，如何求？如何从一个方程中求出多个字母的值，关键依赖于对题意的正确理解和运算能力，通过这道题我们也能悟出此类题的一般的解题规律.

试题解析：（1），相似； 4分

（2）由，得； 8分

（3）设、、、（为常数），将代入，整理得 10分

则有 （＊）

由得，即

亦即（＊＊）

将（＊）代入（＊＊）整理得：

12分

因为对动直线，总要存在定点，所以上式成立与无关，因此必须有 14分

得，或，. 16分

考点：1.椭圆的方程与性质；2.解析几何中的定点问题的处理.