Question

1．函数f（x）=mx²+（m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧．
（1）求m的取值范围；
（2）对于（1）中的m，设t=2-m，不等式k•（${\frac{3}{2}}$）^[t]≥[t]（[t][${\frac{1}{t}}$]+[t]+[${\frac{1}{t}}$]+1）恒成立，求k的取值范围（[x]表示不超过x的最大整数）．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=mx²+（m-3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，对m与0的大小关系进行讨论，即可得m的取值范围．
（2）利用已知条件，转化构造成数列问题求解．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，
当m＞0时，$\left\{{\begin{array}{l}{△≥0}\\{-\frac{m-3}{2m}＞0}\end{array}}\right.$，解得0＜m≤1；
当m=0时，f（x）=-3x+1，交点为（$\frac{1}{3}$，0），满足题意；
当m＜0时，∵f（0）=1＞0恒成立，∴满足题意；
综上所述，m∈（-∞，1]．
（2）由（1）可得m∈（-∞，1]，则t≥1，t=1时，$k≥\frac{8}{3}$；
1＜t＜2时，$k•\frac{3}{2}≥2，k≥\frac{4}{3}$；
?n∈N^*，n≥2，当n≤t≤n+1时，[t]=n，$\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{t}≤\frac{1}{n}，[{\frac{1}{t}}]=0$，
由已知$k•{（{\frac{3}{2}}）^n}≥n（{n+1}）$，则$k≥n（{n+1}）{（{\frac{2}{3}}）^n}$，
令${a_n}=n（{n+1}）{（{\frac{2}{3}}）^n}$，则${a_{n+1}}=（{n+1}）（{n+2}）{（{\frac{2}{3}}）^{n+1}}$，
∵${a_{n+1}}-{a_n}=（{n+1}）{（{\frac{2}{3}}）^n}\frac{4-n}{3}$，
∴n=2，3时，a_n+1＞a_n；n=4时，a₅=a₄；n≥5时，a_n+1＜a_n，
∴$?n∈{N^*}，n≥2，{（{a_n}）_{max}}={a_4}=\frac{320}{81}$，
∴$?n∈{N^*}，n≥2，k≥\frac{320}{81}$，
综上所述，$k∈[{\frac{320}{81}，+∞}）$．

点评 本题考查了二次函数的图象及性质的延伸和运用能力，转化思想和构造思想．属于难题．