题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交C于A、B两点，若AB⊥AF2，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，则C的离心率为（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、
2
3
分析：首先利用椭圆定义和|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，能够得出|AB|=
4
3
a，然后|AF1|=x，进而表示出|AF2|=2a-x，|BF1|=
4
3
a-x，|BF2|=2a-（
4
3
a-x）=
2
3
a+x
；再由AB⊥AF2利用勾股定理得出|AF1|2+|AF2|2=4c2，|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，通过整理能够得出a2=2c2，即可求出离心率．
解答：解：有定义易知|AB|=
4
3
a
设|AF1|=x
则|AF2|=2a-x|BF1|=
4
3
a-x|BF2|=2a-（
4
3
a-x）=
2
3
a+x
∵AB⊥AF2
∴|AF1|2+|AF2|2=4c2
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2
即：
(2a-x)2+x2=4c2①
(2a-x)2+(
4
3
a)2= (
2
3
a+x)2 ② 

由②得：x=a
代入①，有（2a-a）2+a2=4c2 即a2=2c2
∴离心率e=
c
a
=
2
2

故选B．
点评：本题考查了等差数列的性质以及椭圆的简单性质，由椭圆定义和|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列，能够得出|AB|=
4
3
a是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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