题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，侧面
是边长为2的正三角形， 
, 
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）设
是棱
上的点，当
平面
时，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）要证平面
平面
，只需证
平面
即可.
（Ⅱ）分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图，求平面
的一个法向量和平面
的一个法向量求解即可.
试题解析：
（Ⅰ）取
的中点
，连接
， 
，
因为
是边长为2的正三角形，所以
， 
，①
又
，所以
，且
，
于是
，从而
，②
由①②得
平面
，而
平面
，所以平面
平面
.
（Ⅱ）连结
，设
，则
为
的中点，连结
，当
平面
时， 
，所以
是
的中点.
由（Ⅰ）知， 
、
、
两两垂直，分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系如图，则
、
、
、
，
由
、
坐标得
，从而
， 
，
设
是平面
的一个法向量，则由
得
，
取
，得
，易知平面
的一个法向量是
，
所以
，
由图可知，二面角
的平面角为钝角，故所求余弦值为
.
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