Question

如图，在某建筑工地上有一个吊臂长DF=24m的吊车，吊车底座FG高1．m．现准备把一个底半径为3m、高2m的圆柱形工件吊起平放到15m高的桥墩上．（注：当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触，且与工件的中心在一条垂直线上．）
（Ⅰ）记工件能被吊起的最大高度为y（m），请选取适当的变量将y表示成该变量的函数；
（Ⅱ）判断工件能否安全被吊到桥墩上，并说明理由．（参考数据：

3

=1.732）

Answer 1

分析：（I）取吊臂的张角∠AFD=θ为变量，由图可知，y=AB+1.1=AD-BC-CD+1.1=DFsiθ-2-CEtanθ+1.1=24sinθ-3tanθ-0.9=24sinθ-3tanθ-0.9（0＜θ＜

π

2

）
（Ⅱ）利用导数求出y的最大值，与15比较，作出判断．

解答：解：（I）取吊臂的张角∠AFD=θ为变量，吊车能把工件吊起的最大高度y取决于θ．
由图可知，y=AB+1.1=AD-BC-CD+1.1=DFsiθ-2-CEtanθ+1.1=24sinθ-3tanθ-0.9（0＜θ＜

π

2

）．…（4分）
（II）吊车不能把圆柱形工件吊起平放到15m高的桥墩上．…（5分）
由（I）知，y′=24cosθ-

3

cos2θ

．
令，y′=0，解得cosθ=

1

2

，∴θ=

π

3

．…（8分）
当θ∈(0，

π

3

)时，

1

2

＜cosθ＜1，此时，y′=24cosθ-

3

cos2θ

=

24cos3θ-3

cos2θ

＞0；
当θ∈(

π

3

，

π

2

)时，0＜cosθ＜

1

2

，此时y′=24cosθ-

3

cos2θ

=

24cos3θ-3

cos2θ

＜0；．
故当，∴θ=

π

3

时，y有最大值，且最大值为y=9

3

-0.9=14.688＜15．…（11分）
∴吊车不能把圆柱形工件吊起平放到15m高的桥墩上．…（12分）

点评：本题主要考查解三角形的实际应用．当涉及最值问题时，可借助函数的单调性来解决．