Question

已知问题：上海迪斯尼工程某 施工工地上有一堵墙，工程队欲将长为4a（a＞0）的建筑护栏（厚度不计）借助这堵墙围成矩形的施工区域（如图1），求所得区域的最大面积．解决这一问题的一种方法是：作出护栏关于墙面的轴对称图形（如图2），则原问题转化为“已知矩形周长为8a，求面积的最大值”从而轻松获解．参考这种借助对称图形解决问题的方法，对于下列情形：已知两堵墙互相垂直围成“L”形，工程队将长为4a（a＞0）的建筑护栏借助墙角围成四边形的施工区域（如图3），可求得所围区域的最大面积为

2(

2

+1)a2

．

Answer 1

分析：模仿题目中矩形面积最大值的求法，可把图-3的四边形对称出一个八边形，求四边形面积的最大值，就是求八边形面积的最大值，可知八边形应为正八边形，由此求出四边形护栏面积的最大值．

解答：解：不妨把图-3看作如图所示的四边形，

作四边形OACB关于OA、OB的对称图形，作四边形OACB关于O点的中心对称图形．
得到一个八边形，∵AC+CB=4a，∴八边形的面积为16a．
求四边形OACB面积的最大值，就是求八边形面积的最大值．
由命题：周长一定的凸n边形为正n边形时面积最大．
可知八边形为正八边形时八边形面积最大，由∠BOC=45°，BC=2a，
可求得O到BC的距离OD=

BD

tan 45° 2

=

a

sin45° 1+cos45°

=

a

2 2 1+ 2 2

=(

2

+1)a．
∴S△OBC=

1

2

BC•OD=

1

2

×2a×(

2

+1)a=(

2

+1)a2．
∴S四边形OACB=2(

2

+1)a2．
∴可求得所围区域的最大面积为2(

2

+1)a2．
故答案为：2(

2

+1)a2．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了类比方法，解答此题的关键是明确“周长一定的凸n边形为正n边形时面积最大”，该题是中档题．