题目内容

如图1，某学校田径场上有一旗杆OP，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB，设其长度为d，在A点处测得P点的仰角为α，在B点处测得P点的仰角为β．
（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗杆的高度h；
（2）经分析若干测得的数据后，发现将基线AB调整到线段AO上（如图2），α与β之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后AB的距离为d，tanβ= $数学公式$ ，旗杆的实际高度为25，试问d为何值时，β-α最大？

解：（1）在Rt△POA中，OA= $\text{[math]}$ h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d²=（ $\text{[math]}$ h）²+h²-2• $\text{[math]}$ h•hcos30°，其中：d=20，得：h=20，
故旗杆的高度为20
（2）∵tanα= $\text{[math]}$ ，tanβ= $\text{[math]}$
∴tan（β-α）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当且仅当d（h+4）= $\text{[math]}$ 即d= $\text{[math]}$ 时“=”成立
故当d= $\text{[math]}$ 时，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜ $\text{[math]}$ ，∴0＜β-α＜ $\text{[math]}$ ，
∴当d= $\text{[math]}$ 时，β-α最大
分析：（1）利用余弦定理，可得AB²=OA²+OB²-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗杆的高度h；
（2）计算tan（β-α），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可得到结论．
点评：本题考查余弦定理的运用，考查差角的正切公式，考查正切函数的单调性，属于中档题．