Question

如图，在直三棱柱中，平面侧面

  （Ⅰ）求证：

  （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

Answer 1

本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

   (Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

则AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁,

又AB侧面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

   (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠A₁AD＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠A₁AD＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝.

      证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=c(c＜a)，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

?=(0,0,a)

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

可取n＝（0，－a，c），于是

n·=ac＞0，与n的夹角为锐角,则与互为余角.

sin=cos=,

cos=

所以sin=cos=sin(),又0＜，＜，所以+=.