Question

在△ABC中,若sinA=2sinBcosC,且sin²A=sin²B+sin²C,试判断△ABC的形状.

Answer 1

答案：解法一:∵A、B、C是三角形的内角,

∴A=π-(B+C).

∴sinA=sin［π-(B+C)］=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.

∴sinBcosC-cosBsinC=0.

∴sin(B-C)=0.∴B-C=0.∴B=C.

∴A=π-2B.

∴sin²A=sin²2B=sin²B+sin²C=2sin²B.

∵B=C,∴B是锐角.∴sin2B=sinB.

∴2sinBcosB=sinB.

∴cosB=.

∴B=C=,A=.

∴△ABC是等腰直角三角形.

解法二:根据正弦定理得===2R,

∵sin²A=sin²B+sin²C,

∴a²=b²+c².∴A是直角，B+C=90°.

∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin²B=sinA=1.

∴sinB=.∴B=45°.

∴△ABC是等腰直角三角形.

解法三:根据正弦定理得===2R.

∵sin²A=sin²B+sin²C,∴a²=b²+c².

∴A是直角.

又∵A=π-(B+C),sinA=2sinBcosC，

∴sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.

∴sin(B-C)=0.∴B-C=0.∴B=C.

∴△ABC是等腰直角三角形.